Let　M　be　a　loopless　matroid　on　E　with　rank　function　r(m).　Let　beta(M)　=　max(empty　set　not　equal　X　subset　of　E)　vertical　bar　X　vertical　bar/R-M(X)　and　phi(M)　=　Minr(M)(X)=　0　is　an　integer　and　0　＜=　epsilon　＜　1,　then　E　can　be　partitioned　into　k　+　1　independent　sets　with　one　of　size　at　most　epsilon　.　r(M)(E).　If　ca(M)　=　k　+　epsilon,　then　M　has　k　+　1　disjoint　independent　sets　such　that　k　are　bases　and　the　other　has　size　at　least　epsilon　.　r(M)(E).　We　apply　these　results　to　truncations　of　cycle　matroids　to　refine　graph-theoretic　results　due　to　Chen,　Koh,　and　Peng　in　1993　and　to　Chen　and　Lai　in　1996.　(C)　2018　Elsevier　Ltd.　All　rights　reserved.