For　a　graph　G,　let　p(G)　and　c(G)　denote　the　number　of　vertices　in　a　longest　path　and　a　longest　cycle　in　G,　respectively.　In　this　paper,　we　prove　that　if　G　is　a　2-connected　graph　G　on　n　vertices　with　p(G)　=　p,　where　p　＞=　20,　and　if　G　has　more　than　1/2(p　-　2)(n　-　7)　+　13　edges,　then　p(G)　-　c(G)　＜=　1,　which　implies　that　every　longest　cycle　in　G　is　a　dominating　cycle.