If　for　any　two　vertices　v1　and　v2　of　digraph　D,　D　admits　a　spanning　(v1,　v2)-dipath　or　a　spanning　(v2,　v1)-dipath,　then　D　is　weakly　Hamiltonian-connected;　and　if　there　are　both　a　spanning　(v1,　v2)-dipath　and　a　spanning　(v2,　v1)-dipath,　then　D　is　strongly　Hamiltonian-connected.　Thomassen　in　[J.　of　Combinatorial　Theory,　Series　B,　28,　(1980)　142–163]　discovered　a　collection　T0　of　two　digraphs　and　used　it　to　characterize　weakly　Hamiltonian-connected　tournaments,　and　proved　that　every　4-connected　tournament　is　strongly　Hamiltonian-connected.　For　any　two　vertices　v1　and　v2　of　digraph　D,　D　is　weakly　trail-connected　if　D　admits　a　spanning　(v1,　v2)-ditrail　or　a　spanning　(v2,　v1)-ditrail,　and　D　is　strongly　trail-connected　if　there　are　both　a　spanning　(v1,　v2)-ditrail　and　a　spanning　(v2,　v1)-ditrail.　We　have　determined　a　family　T　of　tournaments　and　prove　the　following.　(i)　A　tournament　D　is　weakly　trail-connected　if　and　only　if　D　is　strong.　(ii)　A　strong　tournament　D　is　strongly　trail-connected　if　and　only　if　D　is　not　a　member　in　T.　(iii)　Every　tournament　with　arc-strong　connectivity　at　least　2　is　strongly　trail-connected.　©　2020　Elsevier　Inc.