A　graph　H　=　(W,　EH)　is　said　to　have　bandwidth　at　most　b　if　there　exists　a　labeling　of　W　as　w1,　w2,　…　,　wn　such　that　|i　-　j|　⩽　b　for　every　edge　wiwj　∈　EH,　and　a　bipartite　balanced　(β,　Δ)-graph　H　is　a　bipartite　graph　with　bandwidth　at　most　β|W|　and　maximum　degree　at　most　Δ,　and　furthermore　it　has　a　proper　2-　coloring　χ　:　W　→　[2]　such　that　||χ　-1　(1)|　-　|χ　-1　(2)||　6　β|χ　-1　(2)|.　We　prove　that　for　any　fixed　0　<　γ　<　1　and　integer　Δ　⩾　1,　there　exist　a　constant　β　=　β(γ,　Δ)　>　0　and　a　natural　number　n0　such　that　for　every　balanced　(β,　Δ)-graph　H　on　n　⩾　n0　vertices　the　bipartite　Ramsey　number　br(H,　H)　is　at　most　(1　+　γ)n.　In　particular,　br(C2n,　C2n)　=　(2　+　o(1))n.　©　The　authors.