Let　brk(C4;Kn,　n)　be　the　smallest　N　such　that　if　all　edges　of　KN,　N　are　colored　by　k　+　1　colors,　then　there　is　a　monochromatic　C4　in　one　of　the　first　k　colors　or　a　monochromatic　Kn,　n　in　the　last　color.　It　is　shown　that　brk(C　4;Kn,　n)　=　θ(n2/log2n)　for　k≥3,　and　br2(C4;Kn,　n)≥c(n　n/log　2n)2　for　large　n.　The　main　part　of　the　proof　is　an　algorithm　to　bound　the　number　of　large　Kn,n　in　quasi-random　graphs.　©　2010　Wiley　Periodicals,　Inc.