A　graph　G　is　said　to　be　claw-free　if　G　does　not　contain　K1,3　as　an　induced　subgraph.　For　an　integer　s　＞=　0,　G　is　s-Hamiltonian　if　for　any　vertex　subset　S　subset　of　V(G)　with　|S　|　＜=　s,　G　-　S　is　Hamiltonian.　Lai　et　al.　in　[On　s-Hamiltonian　line　graphs　of　claw-free　graphs,　Discrete　Math.,　342　(2019)]　proved　that　for　a　connected　claw-free　graph　G　and　any　integer　s　＞=　2,　its　line　graph　L(G)　is　s-Hamiltonian　if　and　only　if　L(G)　is　(s　+　2)-connected.Motivated　by　above　result,　we　in　this　paper　propose　the　following　conjecture.　Let　G　be　a　claw-free　connected　graph　such　that　L(G)　is　3-connected　and　let　s　＞=　1　be　an　integer.　If　one　of　the　following　holds:(i)　s　is　an　element　of　{1,　2,　3,　4}　and　L(G)　is　essentially　(s　+　3)-connected,　(ii)　s　＞=　5　and　L(G)　is　essentially　(s　+　2)-connected,　jskthen　for　any　subset　S　subset　of　V(L(G))　with　|S　|　＜=　s,　|D　＜=　1(L(G)　-　S　)|　＜=　and　L(G)　-　S　-　D　＜=　1(L(G)　-　S　)　2　is　Hamiltonian.　Here,　D　＜=　1(L(G)　-　S　)　denotes　the　set　of　vertices　of　degree　at　most　1　in　L(G)　-　S.　Furthermore,　we　in　this　paper　deal　with　the　cases　s　is　an　element　of　{1,　2,　3,　4}　and　L(G)　is　essentially　(s+3)-connected　about　this　conjecture.