Dankelmann,　Guo　and　Surmacs　proved　that　every　bridgeless　graph　Gof　order　nwith　given　maximum　degree　Delta(　G)　has　an　orientation　of　diameter　at　most　n　-　Delta(G)　+　3[J.　Graph　Theory,　88(1)(2018),　5-17].　They　also　constructed　a　family　of　bridgeless　graphs　whose　oriented　diameter　reaches　this　upper　bound.　In　this　paper,　we　show　that　Ghas　an　orientation　of　diameter　at　most　n　-　[　g(G)-1/2　]　(Delta(G)　-　4)　-　1,　where　g(G)　is　the　girth　of　G.　Moreover,　we　construct　several　families　of　bridgeless　graphs　whose　oriented　diameter　attains　n　-　[　g(G)-1/2　]　(Delta(G)　-　4)　-　1,　and　prove　that　the　upper　bound　is　tight　for　Delta(G)　＞=　4.　We　also　give　a　necessary　condition　for　a　bridgeless　graph　to　attain　this　upper　bound.　Furthermore,　we　verify　that　if　Gis　a　3-connected　graph　with　girth　at　least　5,　then　the　oriented　diameter　of　such　Gis　at　most　n　-　[　g(G)-1/2　]　(Delta(G)　-　4)　-　2.