A　graph　H=　(W,　EH)　is　said　to　have　bandwidth　at　most　b　if　there　exists　a　labeling　of　W　as　w1,　w2,　⋯　,　wn　such　that　|　i-　j|　≤　b　for　every　edge　wiwj∈　EH.　We　say　that　H　is　a　balanced　(β,　Δ)　-graph　if　it　is　a　bipartite　graph　with　bandwidth　at　most　β|　W|　and　maximum　degree　at　most　Δ　,　and　it　also　has　a　proper　2-coloring　χ:　W→　[2]　such　that　|　|　χ-　1(1)　|　-　|　χ-　1(2)　|　|　≤　β|　χ-　1(2)　|.　In　this　paper,　we　prove　that　for　every　γ＞　0　and　every　natural　number　Δ　,　there　exists　a　constant　β＞　0　such　that　for　every　balanced　(β,　Δ)　-graph　H　on　n　vertices　we　have　R(H,H,Cn)≤(3+γ)nfor　all　sufficiently　large　odd　n.　The　upper　bound　is　sharp　for　several　classes　of　graphs.　Let　θn,t　be　the　graph　consisting　of　t　internally　disjoint　paths　of　length　n　all　sharing　the　same　endpoints.　As　a　corollary,　for　each　fixed　t≥　1　,　R(θn,t,　θn,t,　Cnt+λ)　=　(3　t+　o(1))　n,　where　λ=　0　if　nt　is　odd　and　λ=　1　if　nt　is　even.　In　particular,　we　have　R(C2n,　C2n,　C2n+1)　=　(6　+　o(1))　n,　which　is　a　special　case　of　a　result　of　Figaj　and　Łuczak　(2018).　©　The　Author(s),　under　exclusive　licence　to　Springer　Nature　Japan　KK,　part　of　Springer　Nature　2023.