A　graph　H　=　(W,　E-H)　is　said　to　have　bandwidth　at　most　b　if　there　exists　a　labeling　of　W　as　w(1),　w(2),...,　w(n)　such　that　vertical　bar　i　-　j　vertical　bar　＜=　b　for　every　edge　w(i)w(j)　is　an　element　of　E-H.　We　say　that　H　is　a　balanced　(beta,　Delta)-graph　if　it　is　a　bipartite　graph　with　bandwidth　at　most　beta　vertical　bar　W　vertical　bar　and　maximum　degree　at　most　Delta,　and　it　also　has　a　proper　2-coloring　chi　:　W　-＞　[2]　such　that　parallel　to　chi(-1)(1)vertical　bar　-　vertical　bar　chi(-1)(2)parallel　to　＜=　beta　vertical　bar　chi(-1)(2)|.　In　this　paper,　we　prove　that　for　every　gamma　＞　0　and　every　natural　number　Delta,　there　exists　a　constant　beta　＞　0　such　that　for　every　balanced　(beta,　Delta)-graph　H　on　n　vertices　we　have　R(H,　H,　C-n)　＜=　(3　+　gamma)n　for　all　sufficiently　large　odd　n.　The　upper　bound　is　sharp　for　several　classes　of　graphs.　Let　theta(n,t)　be　the　graph　consisting　of　t　internally　disjoint　paths　of　length　n　all　sharing　the　same　endpoints.　As　a　corollary,　for　each　fixed　t　＞=　1,　R(theta(n,t),　theta(n,t),　Cnt+lambda)　=　(3t　+　o(1))n,　where　lambda　=　0　if　nt　is　odd　and　lambda　=　1　if　nt　is　even.　In　particular,　we　have　R(C-2n,　C-2n,　C2n+1)　=　(6　+　o(1))n,　which　is　a　special　case　of　a　result　of　Figaj　and　Luczak　(2018).