Let　br(k)　(C-4;　K-n,K-n)　be　the　smallest　N　such　that　if　all　edges　of　K-N,K-N　are　colored　by　k　+　1　colors,　then　there　is　a　monochromatic　C-4　in　one　of　the　first　k　colors　or　a　monochromatic　Kn,　n　in　the　last　color.　It　is　shown　that　brk　(C-4;　K-n,K-n)　=　Theta(n(2)/log(2)n)　for　k　＞=　3,　and　br(2)(C-4;　K-n,K-n)　＞=　c(n　log　logn/log(2)　n)(2)　for　large　n.　The　main　part　of　the　proof　is　an　algorithm　to　bound　the　number　of　large　K-n,K-n　in　quasi-random　graphs.　(C)　2010　Wiley　Periodicals,　Inc.　J　Graph　Theory　67:　47-54,　2011